Transformer une classe de collège en calculateur parallèle pour résoudre l'équation de la chaleur en deux dimensions

Description de l'activité

L'idée est d'appliquer un algorithme itératif sur un domaine à deux dimensions où chaque élève représente à la fois :

  • une unité de calcul
  • un point de discrétisation de l'espace

Dans un premier temps, pour ne pas les affoler, on ne dévoile pas aux élèves le problème qu'ils s'apprêtent à résoudre.

Chaque élève est positionné sur une grille régulière de 5 lignes et 5 colonnes et se voit attribuer la valeur initiale $0$. L'algorithme consiste à calculer la valeur de l'itération suivante $n+1$ en faisant la moyenne des valeurs à l'itération $n$ des 4 voisins qui l'entourent :

$$u^{n+1} = \frac{u_N^{n} + u_S^{n} + u_E^{n} + u_O^{n}}{4}$$

.

où $N, S, E$ et $O$ désignent respectivement les voisins Nord, Sud, Est et Ouest sur la grille.

À chaque itération, l'élève écrit sur 4 papiers volants (ou post-it):

  1. le numéro de l'itération
  2. sa valeur courante

et passe les papiers à ses 4 voisins.
De son côté, il note les 4 valeurs des papiers qu'il a reçu et en fait la moyenne.

Cas particulier des élèves en bord de grille : dans la direction où l'élève n'a pas de voisin, il reçoit la valeur $1$ (la condition aux limites).

Mise en oeuvre

  1. On distribue à chaque élève :

    • les deux premières pages du document chaleur2d.pdf,
    • un paquet de 25 post-it
  2. On donne les consignes de préparation

  3. On explique le déroulement d'une itération
  4. On lance la boucle itérative !

Note :

  • on demande aux élèves de ne garder que 4 chiffres après la virgule
  • il est peu probable que la classe soit composée uniquement de 25 élèves. On demande aux élèves sur-numéraires (hors-grille) de vérifier de se déplacer dans la salle au fur et à mesure des itérations pour vérifier les symétries.

Deux clichés de la mise en oeuvre pratique